Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và ví dụ minh họa

Khái niệm về đường thẳng là gì? Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì? Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng? Bài tập liên quan đến khoảng cách hai đường thẳng? Cùng Top Nổi Bật tìm hiểu chi tiết về nội dung này qua bài viết dưới đây nhé.

Xem thêm:

• Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và bài tập minh họa
• Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và bài tập minh họa
• Công thức tính tọa độ trung điểm và bài tập minh họa dễ hiểu
• Công thức tính góc giữa hai đường thẳng chi tiết và bài tập

Khái niệm về đường thẳng là gì?

• Đường thẳng được biết đến là một đường dài vô hạn, mỏng vô cùng, thẳng tuyệt đối và không bị giới hạn về hai phía.
• Đường thẳng thường được kí hiệu bằng những chữ cái như a, b, c, …

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì?

Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là trùng nhau, cắt nhau, song song và chéo nhao.

• Trong trường hợp hai đường thẳng trùng với nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0.
• Trong trường hợp hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
• Trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa nó chính là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung này là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời cũng vuông góc với hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau chính là tồn tại và duy nhất.

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thằng chính xác

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Cho hai đường thẳng chéo nhau: d₁ đi qua A và có 1 VTCP vecto u₁

d₂ đi qua B có 1 VTCP vecto u₂

Công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d₁ là:

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁, d₂ là:

Ví dụ minh họa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng là:

d₁: (x + 6)/3 = (y – 4)/(-1) = (z – 8)/4

d₂: x/2 = (y + 3)/(-1) = (z + 17)/4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂?

Lời giải

Gọi M( 6;4;8) ∈ d₁, H(0;-3;-17) ∈ d₂.

Ta có:

Vecto MH = ( 6;-7;-25)

VTCP d₂: vecto ud₂ = (4;-1;4)

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong Oxyz

Phương pháp 1:

Phương pháp 2:

Ví dụ minh họa: Cho

a. Chứng minh rằng d₁ và d₂ chéo nhau?

b. Tính d(d₁;d₂)

Lời giải

a.

d₁ đi qua M₁(1;3;-4) có 1 VTCP u₁ = (3;1;4)

d₂ đi qua M₂(3;-4;1), có 1 VTCP u₂ = (1;3;4)

Vậy d₁, d₂ chéo nhau

b.

Cách 1:

Cách 2:

A(1 + 3t;3 + t; -4 + 4t) ∈ d₁

B(3 + u; – 4 + 3u; 1 + 4u) ∈ d₂

AB chính là đoạn vuông góc chung

AB = d(d₁;d₂)

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Dựng đoạn vuông góc chung MN của a, b. Khi đó d(a,b) = MN. Ta xét theo những trường hợp dựng đoạn vuông góc chung thường dùng như sau:

Cách 1: Chọn mặt phẳng α chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’. Khi đó d(Δ,Δ’) = d(Δ’, α)

Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song nhau và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó chính là khoảng cách cần tìm.

Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài của đoạn thẳng đó?

Trường hợp 1: Δ, Δ’ vừa chéo nhau lại vừa vuông góc với nhau.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng α chứa Δ’ và vuông góc với Δ tại I.
• Bước 2: Trong mặt phẳng α ta kẻ IJ vuông góc Δ’.

Lúc đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d(Δ,Δ’) = IJ

Trường hợp 2: Δ, Δ’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

• Bước 1: Chọn mặt phẳng α có chứa Δ’ và song song với Δ.
• Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống α bằng cách sẽ lấy điểm M ∈ Δ. Dựng đoạn MN vuông góc với α, lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với Δ.
• Bước 3:

Hi vọng bài viết trên sẽ giúp bạn đọc hiểu, nhớ công thức và biết áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vào bài tập nhé. Chúc bạn đọc có một ngày học tập thật vui vẻ.